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자계의 분포

그림 1.3 자계의 분포

그림 1.4 프린지 효과와 누설자속

일반적으로 전동기나 발전기를 만들려면 일정한 크기를 갖는 평등 자계를 만들어야합니다. 이러한 평등 자계 안에서 도체를 움직이거나 혹은 도체에 전류를 흘려서 발전기 또는 전동기로 사용하게 되는 것입니다. 그러면 평등 자계는 어떠한 방법으로 만들 수 있을까요?

영구 자석과 전자석을 사용하여 자계를 발생할 수 있습니다. 그림 1.3 에서와 같이 공간상에 영구 자석을 놓고 이에서 발생하는 자계의 분포를 살펴보면 공간상에서 N 극에서 나와서 S 극으로 퍼져나가는 모양을 확인할 수 있습니다. 이러한 자계를 균일한 평등 자계장으로 만들기 위해서는 N 극과 S 극을 가까이 놓으면 비교적 균일한 자계를 형성할 수 있습니다.

평등 자계를 전자석으로 실현하는 경우가 있습니다. 전자석은 자성체를 코일로 감고 코일에 전류를 흘림으로서 자속을 발생하는 것입니다. 자성체가 없다면 전자석도 영구자석과 마찬가지로 양극을 떠나는 자계는 공간상에 퍼져나가는 모양으로 분포합니다. 자성체의 모양과 위치를 조절하여 실제적으로 자계의 분포를 원하는 방향으로 유도할 수 있습니다.

(1)투자율

투자율은 이러한 자성체의 성질을 나타냅니다. 이는 자속이 잘 투과할 수 있는 정도를 나타내는 비율로서 물체에 따라 투자율이 높은 자성체는 자속을 잘 흐르게 합니다. 즉 자계는 가까운 곳에 자성체가 있으면 그곳으로 분포하려고 합니다. 전자석 내부의 자성체는 높은 투자율을 갖고 있어서, 코일에 전류를 흐르게 하여 발생한 자계를 가능한 자성체 자신에 분포하게 하려고 합니다. 그림 1.3 에서와 같이 자성체의 모양을 만들어 자기회로를 구성하는 것이 가능합니다. 자성체의 모양을 보면 발생한 자계가 자성체를 따라 자연적으로 폐회로를 구성하게 됩니다. 중간에 위치한 짧은 공간(이를 흔히 공극이라고 합니다)에서 자속은 공극 건너편에 있는 자성체로 넘어가려고 하므로 이 공간에서는 균일한 평등 자계가 형성된다고 가정을 합니다.

(2) 프린지 효과와 누설자속

균일한 자계가 형성이 된다는 것은 이상적인 가정입니다. 그림 1.4 에서와 같이 자성체 단면의 외곽선을 따라서는 공간으로 퍼져나가는 자계가 균일하지 않게 분포하는 것이 사실입니다. 이러한 효과를 프린지 현상 (주변 효과) 라고 하는데 이것이 실제적인 현상과 이론적인 가정의 차이를 나타내는 부분입니다. 다른 한가지는 누설자속입니다. 자속이 샌다는 말로서 코일에 전류가 흘러 자속이 발생할 때 모든 자속이 자성체내에 존재하는 것이 아니고 그림 1.4 에서와 같이 코일의 외부로 새어나가는 현상이 일부 발생합니다. 이 현상은 회로에서 실제적인 인덕터를 하나 더 갖고 있는 것으로 해석을 하게되며 앞으로 전기기기의 등가회로 계산시 고려할 중요한 요소중의 하나입니다.

기자력과 자속 밀도

그림 1.5 자기회로와 전기회로

전자석의 경우 자속을 발생시키기 위한 코일의 능력을 기자력 (Magneto Motive Force 혹은 MMF) 이라고 하며 식 (1.1) 로 표시합니다.

$F = N \times I$ (1.1)

여기서

$F\,$ : 기자력

$N\,$ : 코일의 권선 회수

$I\,$ :코일에 흐르는 전류

기자력의 단위는 Ampere-turns[At]가 됩니다. 동일한 전류를 흘리더라도 권선을 더 많이 감으면 그에 비례하여 기자력이 증가합니다. 물론 전류를 증가하면 기자력도 그에 따라서 기본적으로 증가합니다. 기자력은 전기를 발생하는 기전력 이라는 개념과 대칭되어 사용하는 개념입니다. 우리가 이미 알고 있는 전기회로에서 건전지가 기전력에 해당하는 부분입니다. 이것이 연결되어 있는 회로가 갖고 있는 저항에 의해서 (물론 저항이외에도 많은 요소가 있습니다) 전류의 크기가 정해집니다. 자기회로도 마찬가지로서 자성체로 구성되어 폐회로를 따라 자속이 분포합니다. 자기회로의 자속은 마치 전기회로의 전류와 같습니다. 그림 1.5는 이러한 자기회로와 전기회로의 유사성을 설명합니다. 전기의 저항에 해당하는 부분은 자기회로에서는 자기저항이라고 합니다. 자기저항은 다른 종류의 자성체, 공기, 혹은 구조적 형상에 따라서 달라집니다.

자기회로를 다룰 때 중요한 개념은 자계의 세기입니다. 이는 단위길이당의 기자력입니다. 즉, 동일한 기자력을 갖고 있는 경우 자기회로가 길어지면 자계의 세기가 약해지며, 자기회로가 짧아지면 자계의 세기가 강해집니다. 자기회로의 길이를 $l$ 이라고 하면 다음과 같이 자계의 세기를 표현할 수 있습니다.

$H=\frac{NI}{l}$ (1.2)

(1.2) 식은 암페어의 주회법칙의 식 $\oint_c {H \cdot dl} = Ni$ 으로부터 나온 것입니다. 이 식은 주어진 자계의 세기H를 임의의 폐곡선을 따라서 선적분한 값은 그 폐곡선안에 존재하는 기자력의 값과 같다는 것을 의미합니다. 자계가 자성체 내부에서 균일하게 분포한다고 가정하고, 폐곡선을 자성체 내부를 따라서 형성하게 하면, H의 값이 일정하므로 H x l 의 값으로 간략화 할 수 있습니다. 여기서 단면적에서의 총 자속밀도 B를 계산하려면 다음과 같은 방법으로 가능합니다.

$B = \mu H = \mu _0 \mu _r H \,[wb/m^2 ,T]$ (1.3)

자속밀도 B는 식 (1.3)과 같이 투자율μ와 자계세기H로 나타낼 수 있습니다. μ0는 진공투자율, μr은 비투자율이며, 단위 면적당 자속의 수이므로 ㏝/㎡이고 테슬라 (Tesla, T)라는 단위를 사용합니다. 여기에 식 (1.2)를 적용하면,

$B = \frac{{\mu Ni}}{l}[T]$ (1.4)

식 (1.4)와 같이 정리를 할 수 있습니다.

여기에서 모든 자속이 자성체에 한정되어 있다고 가정하고 누설자속은 존재하지 않는다고 할 때 자성체의 단면적을 통과하는 자속은,

$\Phi = \int {B \cdot dA} = BA[wb]$ (1.5)

식 (1.5)와 같이 나타낼 수 있으며 B는 철심의 평균자속밀도, A는 자성체의 단면적입니다. 자속의 단위는 웨버(Wb)를 사용합니다. 식 (1.4)를 대입하면,

$\Phi = \frac{{\mu Ni}}{l}A = \frac{{Ni}}{{l/\mu A}}[wb]$ (1.6)

(1.6)과 같은 식으로도 자속을 표현 할 수 있습니다.

여기에서 자기저항인 릴럭턴스R에 대하여 알아봅시다. 자기저항R은 자기회로의 길이l에 비례하고 투자율μ와 단면적A에 반비례하므로,

$\Re = \frac{l}{{\mu A}}[At/wb]$ (1.7)

식(1.7)과 같이 나타낼 수 있습니다. 여기에 (1.1)을 이용하여 자속을 기자력과 자기저항으로 정리하면,

$\Phi = \frac{F}{\Re }[wb]$ (1.8)

최종적으로 (1.8)의 식이 나오게 됩니다.

자기저항은 자기회로의 길이가 길면 커집니다. 또 단면적이 커지면 자기저항은 작아집니다. 이것은 전기저항의 성질과 유사합니다. 또 같은 기자력인 경우에도 철심으로 사용하는 자성체의 투자율이 큰 경우에는 높은 자속 밀도, 즉 많은 자속을 발생할 수 있습니다. 자기회로의 구체적인 성질에 대하여 연구해 볼까요?

자기회로의 구성

그림 1.6 자기회로의 종류

자속을 발생하여 이를 자유롭게 사용하기 위해서 자기회로를 구성합니다. 전류를 공급하여 기자력을 얻게되면 자성체로 만든 자기회로에 자속이 발생하여 분포하게 됩니다. 자기회로를 구성하는 것은 크게 두 가지 방법이 사용됩니다. 하나는 병렬 회로를 사용하여 자속을 분기시키는 것이고, 다른 하나는 자기회로를 짧은 공간에서 끊어서 자속이 잠시 공기를 통로로 하여 흐르도록 하는 것입니다. 공극이라는 용어로 표현되는 이 짧은 공간은 평등 자계를 만드는 방법으로 이용됩니다.

앞의 두 가지 방법을 조합하여 원하는 크기로 자속을 만들 수 있습니다. 먼저 자기의 병렬회로로 자기회로를 구성하는 법과 공극을 넣었을 때의 해석을 차례로 살펴보고 두 가지를 혼합한 경우에 대해서도 살펴보도록 하겠습니다.

가장 기본적인 자기회로의 모양은 그림 1.6 의 (a) 와 같습니다. 자성체는 간단하게 폐회로를 구성합니다. 전체적인 자기경로의 값이 커지면 발생 자속의 수도 감소하게 됩니다. 다른 한편에 코일을 감는다면 간단한 변압기가 됩니다. 변압기 중에는 (b) 의 모양도 있습니다. 기자력에의해서 생성된 자속은 자기저항의 값에 따라서 양분되어 흘러갑니다.

공극을 포함한 기본적인 자기회로는 그림 1.6 의 (c) 와 같습니다. 공기의 투자율은 자성체와 다르고 이를 해석할 때는 자성체의 자기저항과, 공극의 자기저항이 직렬로 연결되어 있다고 볼 수 있습니다. 공극과 자기 병렬회로를 포함한 다소 복잡한 형태의 모양은 (d) 입니다. 공극을 이용한 자기회로의 구성은 발전기와 전동기에서 전기자 도체가 움직이는 공간을 제공하는 중요한 역할을 합니다.

예제 1.1

예제 1.1)

그림과 같이 자성체에 100회전된 코일이 감겨있고 0.5[mWb] 의 자속을 발생하려면 얼마의 전류를 흘려야 할까요? 단 단면적은 4㎠이고 그림에서와 같이 높이와 길이가 5㎝입니다. 투자율은 $10 - 3$ 이라고 가정합니다.

(풀이) 먼저 0.5[mWb]의 자속을 발생하려면 자속 밀도는 0.5 $\times$ $10 - 3$ / 4 $\times$ $10 - 4$ 의 값으로 1.25[T]가 되어야 합니다. 이에 해당하는 자계의 세기는 투자율과 계산하여 1250 [At/m]가 됩니다. 자속은 자성체를 따라서 균일하게 분포한다고 가정할 수 있으므로 철심의 중심을 따라서 폐회로를 가정하고 기자력 값을 구하면 1250 $\times$ 0.2 = 250 At입니다. 이 값을 권회수인 100으로 나누면 전류는 2.5[A]가 됩니다.

예제 1.2

예제 1.2)

그림에서 전류와 자계의 관계를 r 과 N을 사용하여 나타내십시오. 단, 자계 H 는 균일한 밀도로, 누설 자속없이 단면에 고르게 분포한다고 가정합니다.

(풀이) $\oint_c {H \cdot dl = Ni}$ 의 식을 이용합니다. 원주를 따라서 균일하게 자계가 분포한다고 가정하며 $H \cdot 2\pi r = Ni$ 로 해석할 수 있습니다. 전류 i 에 대하여 식을 정리하면 $i = \frac{{2\pi rH}}{N}$ 의 식으로 전류와 자계의 관계를 나타낼 수 있습니다.

히스테리시스와 와전류

(1) 히스테리시스

그림 1.7 히스테리시스 특성 곡선

자기이력이라고 불리는 히스테리시스는 전기기기를 해석하는데 여러 가지 현상을 수반합니다. 전자석의 경우 코일에 전류를 흘리면 자속이 발생함을 보았습니다. 그러면 이때 전류와 자속의 관계는 비례 관계일까요? 우리가 알고 있는 식 $\phi = L \times I$ 는 정비례 관계라고 하고 있지만 실제 현상은 그렇지 않습니다. 실제로는 어떠한 현상이 나타날까요?

실제로는 비례관계가 아닙니다. 전류를 증가하면 초반에는 자속이 천천히 발생하다가 점차적으로 갑작스런 비율로 증가합니다. 어느 정도에 이르면 자속의 증가율이 점점 둔해져서 더 이상 증가하지 않게 포화됩니다.

사실은 이상에서 설명한 것 보다 더욱 복잡한 구조를 갖고 있습니다. 히스테리시스라는 말은 자기이력 이라는 말로도 표현되는데, 자기 이력이라는 것은 자신의 현재 상태에 이르게 된 배경까지도 기억을 하고 있다는 뜻입니다. 즉, 같은 동작점에서도 전류를 증가 또는 감소하는 경우에 대하여 반응은 동일하지 않을 수 있습니다. 전류를 감소하는지 증가하는지 혹은 자기포화를 경험했는지 아닌지 등의 경력에 따라서 현재 전류의 증감에 따른 자속의 발생은 다를 수 있습니다. 그림 1.7은 일반적인 히스테리시스 특성곡선의 성질을 나타냅니다.

나쁜 소식에 좋은 소식이 따라다니듯이, 히스테리시스 성질의 이러한 현상이 유용하게 사용되는 경우가 있습니다. 포화가 된다는 사실은 변압기에서 중요한 의미가 있습니다. 1차측에 흐르는 전류의 크기가 아무리 커져도 자기 포화현상 때문에 발생하는 자속의 크기는 제한됩니다. 따라서 2차측에는 제한된 크기의 전류만 흐르게 됩니다. 다른 하나는 전자석의 경우 전류공급을 중단하여도 자기적인 성질이 남아있음을 히스테리시스 곡선으로 확인할 수 있습니다. 잔류 자기라고 불리는 이 성질로 이용하여 전자석을 만들 수 있습니다. 이것이 곧 영구자석을 만들어 쓰는 원리입니다. 발전기에서 외부 전원이 없이 운전을 시작하는 경우 코일에 남아있는 잔류자기를 이용하여 기동하는 방법도 유용하게 활용되는 잔류자기의 성질이라고 할 수 있습니다.

나쁜 소식은 무엇일까요? 히스테리시스 손실입니다. 교류를 다루는 코일에는 주기적인 전류의 변화가 나타납니다. 이러한 주기적인 변화는 한 주기당 히스테리시스 곡선에 의하여 포함되는 면적만큼의 에너지를 손실하게 됩니다. 히스테리시스로 손실되는 전력의 크기는 식 (1.9)와 같이 주어집니다.

$P_h = K_h VfB_{\max }^n$ [W] (1.9)

여기서

$P_h \,$ : 히스테리시스 손실

$K_h \,$ : 히스테리시스 정수

$V \,$ : 자성체 부피

$f \,$ : 사용 전원 주파수

$B_{max} \,$ : 최대자속밀도

$n \,$ : 재료에 따른 실험 정수 (1.5~2.5)

히스테리시스의 곡선이 갖는 의미를 더욱 자세히 살펴보도록 합시다. 전자석으로 자화를 시켜서 자성체를 영구 자석으로 만드는 경우 자성체가 갖고 있는 고유의 히스테리시스 곡선은 중요한 역할을 합니다. 히스테리시스곡선에서 전류의 값이 0 인 점에 해당하는 자속밀도의 값은 자화된 자성체에 남아있는 잔류 자기의 값입니다. 이 값이 클수록 더욱 큰 자기의 세기를 갖는 영구자석을 만들 수 있습니다. 또 전류에 의해서 다시 자화되는 경우에도 이러한 성질이 지속적으로 유지되려면 전류의 변화에 대하여도 가능한 자속의 변화가 없도록 곡선이 완만한 것이 좋습니다. 즉, 완만한 특성곡선이 영구 자석용의 자성체로서 알맞습니다. 이외의 자성체는 선형적 혹은 가급적 비례하는 성질을 갖도록 날렵한 모양을 갖는 것이 바람직합니다.

 	         그림 1.10 히스테리시스 특성 곡선 (정비례관계)

   	         그림 1.11 히스테리시스 특성 곡선 (기본형)

그림 1.12 히스테리시스 특성 곡선 (완만한 형)

그림 1.10 은 전류 자속간의 관계가 선형적인 비례관계라고 정의했을 때의 결과를 보여줍니다. 학습자가 타입 A를 누르면 좌측 상단에 직선 모양의 특성곡선이 나옵니다. 이는 전류와 자속의 상관관계가 비례적인 상태를 표시합니다. 오른쪽의 세 개의 그래프는 전류와 자속의 시간적 발생상황을 보여줍니다. 가장 위쪽의 그래프는 정현파 전류 및 자속의 변화를 나타냅니다. 가운데 그래프는 위쪽의 그래프가 전류 입력으로 공급될 때 왼쪽의 특성곡선을 가진 자성체에서 발생하는 자속의 파형을 나타냅니다. 아래쪽의 그래프는 위쪽의 그래프가 자속의 정현적 변화일 때 발생하는 전류의 파형을 보여주고 있습니다.

각각 다른 종류의 버튼을 선택하면 다른 모양의 히스테리시스 특성 곡선에 대한 입출력 전류 및 자속의 관계를 보여줍니다. 프로그램을 실행하여 히스테리시스 곡선의 모양의 변화에 따른 전류 자속간의 관계 개념을 쉽게 이해할 수 있습니다.

히스테리시스 특성 곡선이 때로는 전류와 자속의 관계를 설명한다고도 하며, 또는 자계의 세기에 대한 자속 밀도의 관계를 설명한다고 하는데 이는 다른 특성을 설명하는 것이 아니고 같은 내용을 의미합니다. 자속밀도는 자속의 개념과 관계가 있고, 자계의 세기는 전류의 개념과 관계가 있기 때문입니다.

정해진 히스테리시스 특성곡선뿐만 아니라 학습자 임의로 히스테리시스 곡선을 만들어 모양의 변화를 예측하는 것도 가능합니다. 그림 1.13 은 히스테리시스 곡선의 모양을 임의로 조정하여 자속-전류의 변화 관계를 관찰할 수 있는 프로그램을 보여줍니다. 학습자는 전류의 최대 크기 값과 자속의 최대크기 값을 조정하여 히스테리시스 특성곡선의 모양을 변경하고 그에 따른 변화된 결과를 확인할 수 있습니다.

조금 더 진보된 형식으로 히스테리시스 곡선을 변화시킬 수 있는 프로그램에 대한 예제는 그림 1.14 와 그림 1.15 에 있습니다. 그림 1.14 는 전류와 자속간의 관계를, 그림 1.15 는 자속과 전류간의 관계를 나타내고 있습니다. 선택 단추의 항목 값을 지정함으로서 히스테리시스 특성 곡선의 모양을 변화시킬 수 있습니다. current 는 최대 전류의 값을, d1x,d1y 는 특성곡선의 꼭지점의 좌표를 나타냅니다. d2x 는 꼭지점으로 들어가는 x 방향의 성분 값을, d2y 는 꼭지점으로 들어가는 y 방향의 성분 값을 나타냅니다. 이 값들을 임의로 조작하여 여러 종류의 히스테리시스 특성곡선의 모양을 만들어 볼 수 있습니다. 그림 1.13 히스테리시스 특성 곡선의 조절

그림 1.14 히스테리시스 특성 곡선의 조절 (전류->자속) 그림 1.15 히스테리시스 특성 곡선의 조절 (자속->전류)

(2) 자성체의 종류

영구 자석용과 연자성 재료는 사용목적이 다릅니다. 먼저 영구자석은 외부에 기자력을 보급하는 전지와 같은 역할을 하는 자성재료이며, 한번 착자되면 외계의 자계나 온도에 의해서 자기특성이 영향을 받아서는 안됩니다. 큰 잔류 자기와 큰 보자력을 가져야합니다. 보자력은 히스테리시스 곡선에서 자속의 값이 0 이 되는 값을 말합니다. 영구 자석용으로 사용되는 자성재료의 종류는 다음과 같습니다.

격자 변태 경화형 자석

고온 열처리를 통해서 부분적으로 결정조직이 다른 구조를 만듭니다. 근대 자석의 효시라고 볼 수 있습니다.

석출 경화형 자석

비 강자성인 재료에 강자성체를 석출하여 만듭니다. 알루미늄, 니켈, 코발트의 합성에 의해 만든 알니코계 자석이 이 방법으로 제작되는 것입니다.

화합물 자석

가장 많이 이용되고 있는 자석으로 바륨 페라이트가 있습니다. 방향성의 성질을 갖는 이 재료는 소결후 분쇄해서 가압 성형하여 자석을 만듭니다. 알니코계에 비해서 특성은 떨어지지만 값이 싸므로 많이 이용되고 있습니다.

희토류 자석

희토류의 금속간 화합물 미립자를 이용하여 초고성능 자석을 제작할 수 있습니다. 현재 많은 연구가 진행되고 있습니다.

영구자석의 용도와는 달리, 발전기, 전동기, 변압기등의 철심이나 변성기, 자기기록 헤드등의 철심에서는 높은 자속밀도를 얻을 수 있는 것이 바람직합니다. 이는 보자력이 작고 투자율이 높다는 말로서, 이와 같은 성질을 갖고있는 재료를 자기적으로 부드럽다는 의미에서 연자성체 재료라고 합니다.

순철, 전자연철

철은 포화자속밀도가 크고 경제성도 좋습니다. 일반적인 철은 불순물이 많이 있어 투자율이 그리 높지 않습니다. 전자 연철은 불순물이 적은 철강을 가공하여 사용하는데 전기 저항률이 작아 전자석의 자극이나 계자과 같이 직류자계에서 사용됩니다.

규소강

철에 규소를 첨가한 것으로 전기철판으로서 자성재료 중에서 가장 대량으로 사용되고 있습니다. 포화 자속밀도가 약간 감소하지만 전기저항이 증가하고 철손 특성이 좋아집니다. 변압기에 많이 이용됩니다.

합금 자성재료

여러 종류의 합금이 사용되고 있습니다. 니켈-철 합금은 퍼말로이 합금이라고 불리며 투자율이 상당히 높습니다. 규소강에 비하여 포화자속밀도가 낮고 재료도 비싸지만 투자율 보자력이 매우 우수합니다. 철-코발트 합금은 고자속밀도가 요구되는 전자석의 자극편과 수화기의 진동판에 사용됩니다. 이외에도 Fe-Al-Si 합금과 비정질 합금등이 있습니다.

고투자율 페라이트

철의 산화물로서 영구자석에서 사용되는 페라이트와는 구조가 다릅니다. 페라이트의 최대 자속밀도는 금속계에 비하여 상당히 낮지만 전기 저항률이 크기 때문에 적용범위가 넓습니다. 페라이트 자심은 산화철 등의 원료 분말을 압축 성형해서 고온에서 소성해 만듭니다. 일종의 자기이며 여러 형상의 철심을 다량으로 생산할 수 있습니다.

(3) 와전류 손실

자성체에서 발생하는 현상 중에는 히스테리시스 현상이 있고 다른 하나는 와전류 현상이 있습니다. 이 두 가지의 현상이 자성체에서 일어나는 기본적인 현상이고 손실을 계산할 때 두 가지를 합쳐서 철손이라고 합니다. 자성체 철심에서 일어나는 손실이라는 의미입니다.

자계가 존재하면 이에 의해서 전류가 발생합니다. 즉 자계의 방향에 대하여 이에 대한 오른 나사의 법칙에 따른 전류가 발생하여 마치 맴돌이 현상과도 같이 전류가 발생하는 것입니다. 전류가 발생하므로 자성체의 저항에 의해서 열이 발생하게됩니다. 이것이 에너지를 손실하게 합니다.

와전류 손실을 줄이기 위해서는 맴돌이 전류의 경로를 줄일 필요가 있습니다. 이를 줄이기 위하여 철심을 얇게 적층하고 그 사이를 절연하면, 전류가 흐르지 못하게 됩니다. 이러한 방식으로 와전류 발생을 억제하는 것이 가능합니다. 와전류도 히스테리시스성질과 마찬가지로 그 현상을 이용해서 여러 가지 장치로 사용됩니다. 와전류 제동장치와 자동차 속도계기등은 이러한 와전류 현상을 이용한 장치입니다. 와전류 손실 값에 대한 실험적인 식은 다음과 같습니다.

$p_e = k_e (B_{\max } t \cdot f)^2 [W/m^3 ]$ (1.10)

여기서,

$K_e \,$ : 재료정수

$t \,$ : 성층의 두께

철심 표면에 작용하는 힘

직접적으로 자기력을 이용한 기계 장치를 만들어 봅시다. 폐차장에서 폐차된 차들을 기중기가 들어서 옮기는 경우 이러한 원리를 사용합니다. 코일을 이용하여 그림 1.16 과 같은 구조의 자성체를 만듭니다. 위쪽은 전자석의 형태로 되어 있으며 분리되어 있는 아래쪽은 같은 재질의 자성체로서 코일에 전류가 흐르면 아래의 자성 철편을 끌어올려 붙이게 됩니다. 자성체의 저항을 무시한다고 가정할 경우 발생하는 인력 F는 다음의 식 (1.11)과 같습니다.

$F = \frac{1}{2}f^2 \frac{{dp}}{{dl}}[N]$ (1.11)

여기서

$f \,$ : 기자력

$l \,$ : 자성체의 길이

$p \,$ : 공극의 퍼미언스(Permeance)

이때 공극의 퍼미언스 p는 자기저항의 역수로서,

$p = \frac{1}{\Re } = \frac{{\mu _0 A}}{g}[wb/At]$ (1.12)

여기서

$g \,$ : 공극의 길이

$A \,$ : 자성체의 단면적

식 (1.12)와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 식에 식 (1.11)을 대입하면,

$F = \frac{1}{2}f^2 \frac{d}{{dl}}\left( {\frac{{\mu _0 A}}{g}} \right)[N]$ (1.13)

식 (1.13)과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기에서 자성체의 길이 $l$ 과 공극의 길이 g에 대하여 알아보겠습니다. 자성체의 길이가 증가할수록 공극의 길이는 줄어들며, 반대로 공극의 길이가 늘어날 경우 자성체의 길이가 줄어드는 것을 명백하게 알 수 있으므로, 두 길이의 변화율관계를 수식으로 나타내면,

$dl = - dg \,$ (1.14)

식 (1.14)와 같이 나타낼 수 있습니다. 식 (1.13)에 이 식을 대입하면,

$F = - \frac{1}{2}f^2 \frac{d}{{dg}}\left( {\frac{{\mu _0 A}}{g}} \right) = \frac{1}{2}f^2 \frac{{\mu _0 A}}{{g^2 }}[N]$ (1.15)

식 (1.15)와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 식을 다시 한 번 풀어서 정리하면,

$F = \frac{1}{2}f^2 \left( {\frac{{\mu _0 A}}{g}} \right)\frac{1}{g} = \frac{1}{2}f^2 \frac{1}{\Re }\frac{1}{g} = \frac{1}{2}\phi ^2 \frac{{\Re ^2 }}{\Re }\frac{1}{g}$